Dominio y contradominio de f y f - 1
dominio de f - 1
= contradominio de f
contradominio de f - 1
= dominio de f
Cuando se estudian las funciones, con frecuencia decimos que x representa un número arbitrario en el dominio. Así, para la función inversa f - 1 se puede desear tener a f - 1(x), donde x está en el dominio R de f - 1 En este caso, las dos condiciones en el teorema sobre funciones inversas se escriben como sigue:
(1) f - 1(f(x)) = x para toda x en el dominio de f
(2) f(f - 1(x)) = x para toda x en el dominio de f - 1
Las figuras siguientes (son las mismas del Teorema para funciones inversas)
(a) (b)
dan una pista para determinar la inversa de una función biunívoca en algunos casos: Si es posible, se despeja x de la ecuación y = f(x) en términos de y, para obtener una ecuación de la forma x = g(y). Si son válidas las dos condiciones, g(f(x)) = x y f(g(x)) = x para toda x en los dominios de f y g, respectivamente, entonces g es la función inversa necesaria, f - 1. Las siguientes reglas resumen este procedimiento. En la regla 2, antes de determinar f - 1, se escribe
x = f - 1(y) en lugar de x = g(y).
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Definición de Relación
ResponderEliminarEs un conjunto bien definido de pares ordenados, en el cuál el conjunto de los elementos
que están en primer lugar se le conoce como dominio de la relación y el conjunto de los
elementos que están en segundo lugar se le conoce como rango de la relación.
2. Propiedades de las relaciones.
Sea R cualquier relación y a,b, c un conjunto de elementos para los cuáles está definida
dicha relación, ésta última puede tener las siguientes propiedades:
a. Reflexiva: si ( a, a )
†
e R
b. Simétrica: si ( a, b )
†
e R implica que ( b, a )
†
e R
c. Transitiva: si ( a, b )
†
e R y ( b, c )
†
e R, implica que ( a, c )
†
e R
Ejemplo 1.
Supongamos que “=” define una relación R en el conjunto S, dónde S =
†
{ 1, 2, 3, 4, 5
†
}.
La relación “=” es reflexiva, simétrica y transitiva.
Reflexiva: para cualquier elemento de S, a = a, por lo que ( a, a )
†
e R
Simétrica: dados cualesquiera dos elementos de S a, b, si a = b, ello implica que
b = a, así que si ( a, b )
†
e R , ( b, a )
†
e R. En este caso particular, a y b son el
mismo número.
Transitiva: dados los elementos a, b, c de S, si a = b y b = c, entonces a = c
Ejemplo 2.
Supongamos que “<” define una relación R en el conjunto S, dónde S =
†
{ 1, 2, 3, 4, 5
†
}.
La relación “<” no es reflexiva, no es simétrica pero sí es transitiva.
Existen dos tipos de relaciones que habría que remarcar: las relaciones de equivalencia y las
relaciones lineales de orden.
Relaciones de equivalencia: son relaciones que son simétricas, reflexivas y transitivas.
Relaciones lineales de orden: son relaciones que no son simétricas ni reflexivas pero sí son
transitivas.
3. Funciones.
Definición: Una función es un conjunto de pares ordenados en el cuál cada elemento del
domino está relacionado con uno y solo un elemento del rango.
En otros términos, una función es un conjunto de pares ordenados, dentro de los cuáles no
se repite en ningún caso el primer elemento. Así tenemos que una función es un tipo
especial de relación.
Para cualquier par ordenado ( x, y ) asociado con una función, se dice que x es la variable
independiente y y la variable dependiente. También se dice que la variable dependiente es
función de la variable independiente, esto es, y es función de x y su notación es:
y = f ( x )
4. Dominio y rango.
Para definir una función en términos apropiados, se requiere establecer cuál es el dominio
de la variable independiente y a través de la función que se tenga definida, se puede
establecer el rango de la variable dependiente. Al menos que se especifique de otra forma,
tanto el dominio como el rango de las funciones serán subconjuntos de los números reales.
Ejemplo 1.
Sea la función F = { ( x, y ) / y = x + 2 }, el dominio de la variable independiente es el
conjunto de los números reales, esto es, x puede sustituirse por cualesquier número real y a
través de la función se generará otro número real correspondiente a la variable dependiente
y.
Ejemplo 2.
Para la función F = { ( x, y ) / y =
†
x + 2 }, el dominio contiene únicamente números
reales mayores o iguales a –2, ya que cualquier número real menor a –2 al sustituirse en la
función daría como resultado la raíz de un número negativo y y no sería un número real.
Ejemplo de funciones
ResponderEliminarEn este apartado vamos a estudiar algunos ejemplos de funciones particulares: función definida por partes, función signo, función valor absoluto, función mayor entero, etc. En los apartados subsiguientes se tratan las funciones elementales utilizadas en el estudio del cálculo: funciones algebraicas (polinomiales, racionales, radicales), funciones trascendentales (trigonométricas, logarítmicas, exponeciales, hiperbólicas).
Ejercicios resueltos
En cada ejercicio, determine el dominio y el dominio de imágenes (codominio, contradominio) de la función, y trace la gráfica correspondiente:
S o l u c i o n e s
Tabla de valores
x 0 4 8
y 4 0 4
Tabla de valores
x -4 0 4
y 0 4 0
Tabla de valores
x 0 2 4
y 6 0 6
Tabla de valores
x -2 0 1 3
y 5 1 1 5
Tabla de valores
x y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tabla de valores
x
y x