RESUMEN:
*RELACIONES Y FUNCIONES:
En la vida cotidiana, y en los distintos campos de la ciencia, aparecen correspondencias que reflejan las interacciones de los fenómenos que ocurren en el universo. Por ejemplo, a cada estudiante le corresponde un numero de matricula; a cada auto su numero de placa; a todo numero real su cuadrado, etcétera.
En los ejemplos mencionados existe una relación o correspondencia entre dos conjuntos cuyos elementos pueden ser números u objetos del mundo que nos rodea. Dados los conjuntos A y B es posible establecer correspondencias de A en B, las cuales se determinan mediante un conjunto de pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente y elemento de B. En cada par ordenado, al primer componente, que pertenece al conjunto A, le corresponde el segundo que pertenece a B.
Sean A = {a, b, c} y B = {w, x, y, z}
Las correspondencias representadas en la siguiente figura están determinadas por los pares ordenados. R1 = {a, x), (b, y), (b, z)}.
A • B• C
X • •w •y •z
El conjunto de pares ordenados {a, z,),] (b, u), (b, v), (c, z)}, de acuerdo con la siguiente figura, también determina una correspondencia de M1 en M2.
M1 M2
A M
B V
C W
Z
Dados los conjuntos A y B, cada conjunto de pares ordenados en el cual el primer componente pertenecen al conjunto A y el segundo a B es una relación de A en B. al conjunto de A se le llama DOMINIO, mientras que a B se le llama CODOMINIO O RANGO.
Podemos decir que una relación entre dos conjuntos A y B es una regla que asocia a cada elemento de A con al menos un elemento de B. si el par ordenado (x, y) pertenece a la relación R, entonces se dice que al elemento x le corresponde el elemento y.
Conclusión:
El par ordenado (3, 9) es diferente del par ordenado (9, 3). Por ejemplo, en la relación anterior el par (9, 3) no satisface la condición y = x^2, mientras que el (3, 9) sí. Como los pares ordenados representan una relación, entonces se dice que:
UNA RELACION ES UN CONJUNTO DE PARES ORDENADOS.
*FORMAS DE REPRESENTAR UNA RELACION:
Una relación se puede indicar mediante cualquiera de las siguientes formas:
Mediante un enunciado; por ejemplo:
“El área de un círculo varía directamente con el cuadrado de su radio.”
Mediante una ecuación; por ejemplo:
A=πr^2
Mediante un conjunto de pares ordenados; por ejemplo:
R= {(1,3.1 4), (2,12.56), (3, 28.26), (4, 50.24)}
Cuando expresamos una relación de esta forma, el conjunto cuyos elementos son los primeros componentes de los pares ordenados, constituye su dominio, mientras que el conjunto cuyos elementos con los segundos componentes constituye su rango; por ejemplo, para la relación.
R= {(1, 4), (2,8), (3,12), (4,16), (5,20)}
Tenemos que:
Su dominio d= {1, 2, 3, 4, 5}
Su rango = {4, 8, 12, 16, 20}
Mediante una tabla de valores; por ejemplo:
X 1 2 3 4
Y 5 10 15 20
Mediante una grafica.
O mediante un diagrama, por ejemplo:
A B
1 1
2 2
3 3
4 4
*FUNCIONES:
Un conjunto de pares ordenados (x, y) tales que £ A y y £ B es una función o aplicación de A en B si cada x £ A le corresponde un único elemento y £ B; es decir, una relación que tiene la propiedad de que a cada elemento de su dominio le corresponde uno y solo un elemento de su condominio, se llama FUNCION.*
Una relación es una función cuando en el conjunto de pares ordenados que la constituyen no hay dos con la primera componente igual, o sea, que para cada valor de x del dominio le corresponde uno y solo uno del codominio.
La función entre los conjuntos mencionados se denota por f: A → B que se lee “f es una función de A en B”.
Los elementos del dominio de una función se llaman argumentos de la función y los del codominio se denominan imágenes.
Por ejemplo: la relación R= {(1,5), (2,10), (3,15), (4,20)} es una función porque no se repite ningún elemento del dominio; en cambio R = {(1,1), (4,2), (4,2), (4,-2)} no es función, ya que se repiten el 1 y el 4 como elementos del dominio de la relación. Para que una relación no sea función basta con que se repita un elemento del dominio.
*FUNCION INYECTIVA:
Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f (− 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.
*FUNCION SOBREYECTIVA:
Una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
*UNA FUNCION LINEAL:
Una función lineal es una función polinomial de primer grado; esto es, una función de la forma f (x) = a x +b, donde a y b son constantes y a ≠0.
Si la expresión anterior anterior a = 0, entonces f (x) = b y sería la expresión de una función constante.
Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
donde k es un escalar.
*TRANSFORMACIÓN LINEAL IDENTIDAD:
EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCION LINEAL ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS REALES (SI f (x) = m x + b, COM m ≠0).
*ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA:
El ángulo de inclinación de una recta r en el plano cartesiano se define aquel que forma la recta con el semieje de las abscisas.
*PENDIENTE DE UNA RECTA:
La pendiente m de una recta r se define como la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.
*RECTAS PARALELAS O PERPENDICULARES:
Si dos rectas que no son verticales son paralelas, sus inclinaciones y, por consiguiente, sus pendientes son iguales y recíprocamente si m1 = m2 las rectas son paralelas.
*función cuadrática:
Función de la forma y = f(x) = ax2 + b x + c, en donde a 0.
La gráfica de esa función es una parábola con el eje paralelo al eje y. Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba. En caso contrario, se abre hacia abajo. Las raíces de esta ecuación cuadrática, en caso de existir, determinan donde cruza la gráfica con el eje x. Normalmente, la posición del vértice se obtiene completando el cuadrado.
Una función de la forma:
f (x) = a x ² + b x + c
Con a, b y c pertenecientes a los reales y a ¹ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
Conclusión:
Todo esto es un pequeño resumen de todo lo que vimos en este parcial el cual en algunos puntos se me dificulto y recurrí a usted para que me lo explicara, ahora que lo leí mejor comprendí en donde tuve mis errores. Aparte estos temas son de suma importancia ya que los seguiremos utilizando constantemente.
realizado por Rosa Karina De La Cruz Pérez.
